Matemática

Filosofia e Matemática

Se hoje o conceito de “ângulo”, a “teoria das proporções”, a “raiz quadrada”, os números não-inteiros ou negativos, etc., são coisas comuns nas aulas de matemática, isso se deve ao fato dos gregos terem dado grande impulso na sistematização dessas fórmulas.

Entre os gregos, a filosofia começa com uma tomada de consciência sobre os limites da experiência na obtenção do conhecimento. Essa também é a preocupação que dá corpo ao desenvolvimento da matemática grega. Em outras culturas o processo de construção do conhecimento matemático deu-se de maneira diferente. Sabemos hoje que entre os babilônios e egípcios, por volta de 3.500 a.C. já existia um primitivo sistema de escrita numérica. Alguns historiadores consideram, inclusive, a África e não a Grécia o berço da matemática, devido ao material encontrado que sugere que há mais de dezenove mil anos já se pensava matematicamente. Porém, é na Grécia que se verifica um surpreendente nível de abstração de problemas matemáticos, culminando na obra do matemático Euclides, que viveu por volta do ano 300 a.C. Os “Elementos” de Euclides comportam 465 proposições em 13 livros que tratam de geometria, teoria dos números, irracionais e geometria do espaço.

Como destaca o historiador da matemática Árpád Szabó, a matemática pré-helênica não chegou a desenvolver conceitos como “proporção”, “demonstração”, “dedução”, “definição”, “postulado”, “axioma”.

Todos esses termos aparecem na obra de Euclides (Szabó, 1977, p. 201). Ainda segundo Szabó, o nível de formalização de problemas matemáticos que encontramos nos Elementos de Euclides recebeu importante subsídio das discussões filosóficas da Grécia clássica, principalmente com Platão e os matemáticos que faziam parte da academia.

Platão é sempre lembrado por recomendar o estudo da matemática para o entendimento pleno da filosofia. É porque a matemática exercita a capacidade de abstração, sem a qual você não entende a filosofia.

Na obra platônica encontramos inúmeras passagens onde problemas matemáticos são descritos como forma de exposição de argumentos.

A passagem mais célebre é a do Mênon (82b-85e) onde Sócrates conduz um escravo na resolução de um problema de geometria. No diálogo Teeteto, sobre o qual já falamos, há o relato de outro problema que serve para mostrar que o personagem central, Teeteto, pode ser tão bom em filosofia como é em geometria. O tópico em questão é um exercício com números que não são exatos, como 1,4142 e 1,7320 (raízes aproximadas de 2 e 3, respectivamente). Hoje essas quantidades são triviais. Mas entre os gregos a descoberta desse tipo de medida causou bastante perplexidade. Os números que não possuíam raízes exatas eram chamados “números irracionais”.

É importante destacar também que na Grécia clássica a noção de número tem um sentido bem diferente da noção de número na matemática moderna. Para os gregos “dois” é a soma de duas unidades, ou duas quantidades “discretas”, “três” é o triplo da unidade, etc. (Cf. Fowler, The Mathematics of Plato’s Academy, 1987) A noção de “número” indica aquilo que é capaz de possuir partes. Isso significa que a unidade (1) não é um número. A unidade é o nome que se dá para cada parte do número quando esta é identificada até o seu limite, isto é, quando não pode mais ser dividida. Esta noção é definida como aquilo que não tem partes porque, se tiver partes, já não será mais unidade, mas dois, três, etc. Trata-se de uma concepção muito diferente da cotidiana, que vê os números como abstrações e não faz mais a conexão com as coisas que eles representam.

Além disso, os gregos representavam os números com figuras geométricas. O número 3 representava a figura do triângulo porque com três pontos num plano formamos uma figura triangular. O número 4 o quadrado porque com quatro pontos formamos um quadrado e assim sucessivamente.

Se você encontrar pela frente obras filosóficas como a de Descartes, Spinoza ou Platão, e se deparar com afirmações de que a realidade é mais bem apreendida por meio da geometria ou da matemática, pense nisto: antes de ser um símbolo mental cujas seqüências e razões são sistematizadas nos livros de matemática, os números indicam coisas reais existentes no mundo. De modo que se pode olhar para torrões de terra e pensar em cubos, para a água e pensar em bolhas em forma de círculos, para as folhas das árvores e pensar em triângulos ou cones. Era mais ou menos isso que faziam os gregos quando raciocinavam matematicamente sobre a natureza.

Na escola você aprende que geometria significa, etimologicamente, “medir a terra”. É uma definição que está na origem das noções geo­métricas, quando egípcios e babilônios desenvolveram técnicas para medir a extensão de rios, terras e observar o movimento dos astros.

Aos poucos essa noção rudimentar foi sendo aprimorada pelas matemáticas dedutivas gregas que chegaram, até Euclides, num nível de abstração bastante sofisticado.

Mas é no século XVII, quando o matemático Fermat (1601-1665) e o próprio Descartes desenvolvem a álgebra, que a geometria dá um passo decisivo rumo àquilo que é hoje. Os historiadores da matemática divergem sobre o fato de Descartes e Fermat terem sido os reais pioneiros da chamada “geometria analítica”. O certo é que na obra Geometria, de 1637, na terceira parte, Descartes simplifica bastante o simbolismo usado pelas matemáticas anteriores. Como atesta Granger:

Para convencer-se disso, bastaria compará-lo com uma página da Álgebra de Clavius, onde nenhuma equação é completamente formulada em símbolos e onde signos cabalísticos representam as diversas potências da coisa, isto é, da incógnita. (DESCARTES,1962)

Essa inovação deve-se à firmeza de Descartes em exigir uma clareza nas demonstrações matemáticas. A Geometria permitiu que Descartes estudasse a natureza do mundo físico pela ótica do pensamento matemático. O que Descartes mais apreciava na geometria é o poder que ela possui de rejeitar as “noções qualitativas indeterminadas em favor das de quantidades rigorosamente determinadas”. (COTTINGHAM, 1989).

A geometria analítica

Segundo o racionalismo de Descartes, o melhor caminho para a compreensão de um problema é a ordem e a clareza com que processamos nossas reflexões. Um problema sempre será mais bem compreendido se o dividirmos em uma série de pequenos problemas que serão analisados isoladamente do todo. Com intuito de ilustrar o alcance do método filosófico para o raciocínio e a busca da verdade, Descartes utilizou o terceiro apêndice de sua obra para a descrição de um tratado geométrico com os fundamentos daquilo que conhecemos hoje como geometria analítica.

Em essência, a geometria analítica pensada por Descartes seria uma tradução das operações algébricas em linguagem geométrica, e a essa nova forma de proceder segue uma enorme crença do autor no novo método como uma forma organizada e clara de resolver problemas de natureza geométrica.

Vejamos como a ideia central do método cartesiano está impregnada nos procedimentos de resolução do seguinte problema geométrico sem uso da fórmula de distância de ponto a reta: determinar a altura relativa ao vértice C do triângulo de vértices A(xa,ya), B(xb,yb) e C(xc,yc).

Dividiremos o problema em 5 problemas menores:

Primeira etapa: determinar a equação da reta que passa pelos pontos A e B.

Segunda etapa: encontrar o coeficiente angular de uma reta perpendicular à reta que passa por A e B.

Terceira etapa: determinar a equação da reta que passa por C e tem o coeficiente angular igual ao encontrado na segunda etapa.

Quarta etapa: encontrar o ponto P de intersecção das retas da primeira e terceira etapas.

Quinta etapa: calcular a distância entre os pontos P e C (a altura do triângulo).

Sem dúvida, o projeto filosófico de Descartes trouxe inegáveis contribuições para o desenvolvimento da ciência de modo geral e da matemática em particular, contudo vale ressaltar que a fragmentação do conhecimento que dele decorre é um dos mais sérios problemas a serem enfrentados pelo homem contemporâneo.”

(José Luiz Pastore Mello, in: Folha Online - 26/12/2000)

Anderson de Paula

Colégio Estadual do Paraná - Curitiba - PR